Первая проблема Гильберта – как философская проблема в основаниях математики

Аннотация

(Тезисы доклада на Всемирном Конгрессе: "Теория систем, алгебраическая биология, искусственный интеллект: математические основы и приложения", Москва, 2023)

Ссылка для подключения к заседанию в системе Zoom: https://clck.ru/33f8Bc

Годарев-Лозовский Максим Григорьевич, Адрес электронной почты защищен от спам-ботов. Для просмотра адреса в вашем браузере должен быть включен Javascript.

председатель СПб Философского клуба Российского философского общества, руководитель научно-философского семинара Российского философского общества в СПб, в Доме ученых в Лесном

Аксиома: потенциально бесконечное множество знаков периодической дроби имеет мощность конечного множества, а актуально бесконечное множество знаков непериодической дроби имеет мощность счетного множества.

Гипотеза: на отрезке числовой прямой [0,999…, 1,000…] существует:

• несчетное множество иррациональных чисел вида 0,999…1415926535…;
• конечное множество рациональных чисел вида 0,999…;
• всюду плотное множество мета рациональных чисел вида 0,999…5. 

Гипотеза полезна следующим.

1) Становится понятным – почему точка, брошенная на числовую прямую, почти наверняка попадет на иррациональное число, мера Лебега множества которых равна 1.

2) Гипотеза относительно заполняет пробелы на числовой прямой, а ведь сечение Дедекинда рациональным числом, связано с пробелами, т.е. при нем отсутствуют граничные элементы.

3) Гипотеза объясняет полное отсутствие пробелов и наличие единственного граничного элемента, при сечении Дедекинда иррациональным числом, тем, что: только иррациональное число, в десятичном представлении которого актуально бесконечное множество знаков – актуально и до основания «рассекает» континуум [1, с.19 – 24].

4) Гипотеза логически необходима для того, чтобы во всюду плотном совокупном множестве рациональных и мета рациональных чисел, на числовой прямой, на отрезке [0,999…, 1,000…]  между этими двумя числами существовало бы бесконечное множество других чисел.

5) Гипотеза устраняет известную неоднозначность при буквальном понимании равенства значений двух различных чисел на числовой прямой: 1 = 1,000…и 1 = 0,999... (Ведь, потенциально бесконечная десятичная дробь не имеет бесконечного актуально «хвоста» из девяток. Предположение, что в записи 0, с1с2… девятка присутствует актуально, но не потенциально бесконечное множество раз несостоятельно, ведь значение дроби как действительное число 0,999… никогда не станет смежным или равным действительному числу и значению дроби 1, 000…).

Таким образом, первая проблема Гильберта, по нашему мнению, находится в русле различения актуальной и потенциальной бесконечностей, обобщения понятия рационального числа и она зависит от ответа на следующие очень непростые вопросы. Существуют ли на отрезке числовой прямой [0,999…, 1,000…] числа иного поколения, т.е. мета рациональные: 0,999…1; 0,999…2; 0,999…3; … и если существуют, то обладает ли их множество промежуточной мощностью между счетным множеством и континуумом? Ведь, очевидно то, что для мета рационального числа, также как и для иррационального числа, мы не найдем места в диагональной таблице Г. Кантора.

Допустим, отдаленную аналогию с деревом, как с целым: почва – это нестандартная числовая прямая, многочисленные корни дерева – это множество иррациональных чисел, а рациональное число – это единый ствол дерева. Но неизвестно существует ли невидимое глазом, возможное раздвоение ствола у его основания – множество «мета рациональных чисел»? Мы полагаем, что затрудняющая познание «семантическая избыточность языковых средств описания множеств», устраняется конкретностью поставленных нами ключевых вопросов, связанных с первой проблемой Д. Гильберта [2, с.9].

Публикации по теме доклада:

1. Дедекинд Р. Непрерывность и иррациональные числа. М.: URSS, 2015. 44 с. (Купить в URSS.RU) (Скачать издание 1923 г.)
2. Целищев В.В. Проблема семантической избыточности и определенность континуум-гипотезы в теориях множеств первого и второго порядков. / Философия образования, №69. 2016. С. 9-19. (Скачать)

Связанные публикации:

1. Бесконечность в математике, логике и философии / Cб. Под ред. Барабашева А.Г. М. 1997. 400 с.
2. Болибрух А.А. Проблемы Гильберта (100 лет спустя) / Научный портал Эврика. 11.06.2006
3. Верещагин Н.К., Шень А. Множества и мощности, с. 6-41 / В кн. Начала теории множеств. М: МЦНМО, 2008. 127 с. (Скачать изд. 2012 г.)
4. Жуков А.В. Гл.1: Краткая биография числа π, с. 11-75. / В кн. Вездесущее число π.: URSS, 2017. 237 c. (Купить на URSS.RU) (Скачать изд. 2004 г.)
5. Ларин С.В. Десятичные дроби, с. 76-80. Другая трактовка понятия представимости действительного числа десятичной дробью, с. 99-100. / В кн. Числовые системы. М.: «Академия», 2001. (Купить на URSS.RU изд. 2023 г.)
6. Понтрягин Л.С. Десятичные дроби, с.25-27. Построение действительного числа, с. 50-53 / В кн. Анализ бесконечно малых. M.: URSS, 2017. 256 c. (Купить на URSS.RU) (Скачать изд. 1980 г.)
7. Светлов В.А. Проблема обоснования математики. с. 5-25. Определение числа, с. 64-66. / В кн. Философия математики. Основные программы обоснования математики XX столетия. M.: URSS, 2015. 204 c. (Купить на URSS.RU) (Скачать изд. 2006 г.)